Аннотация: В данной работе исследуются трансляционно-инвариантные меры Гиббса (ТИМГ) для решеточной модели Hard-Core (HC) со счетным множеством значений спина \(\mathbb{Z}\) на дереве Кэли
порядка \(k \geq 2\). Эта модель статистической механики однозначно характеризуется бесконечным набором параметров, задаваемых положительной функцией активности \(\lambda_{i}>0\), \(i \in \mathbb{Z}\). Явно выведено функциональное уравнение согласованности и установлены точные условия нормализуемости, необходимые для граничных законов системы. Анализ подробно
сосредоточен на сходимости разбиений рядов активности, обозначаемых как \(\sum_{j\in\mathbb{Z}_{0}}\lambda_{2j}=\Delta\) и \(\sum_{j\in\mathbb{Z}}\lambda_{2j+1}=\Psi\). В симметричном подслучае, когда \(\Delta=\Psi\equiv\gamma\), определено точное критическое значение \(\gamma_{cr}(k)\) и доказано, что при \(\gamma \le \gamma_{cr}(k)\) существует единственная ТИМГ, тогда как при \(\gamma>\gamma_{cr}(k)\) на деревьях Кэли порядков \(k=2,3,4,5\) возникают ровно три различные ТИМГ. Кроме того, сформулирована обобщённая нижняя граница для общего числа ТИМГ при всех порядках \(k \geq 2\). Наконец, в асимметричном подслучае (\(\Delta \neq \Psi\)) представлено полное математическое описание и классификация всех трансляционно-инвариантных мер Гиббса на деревьях Кэли порядков \(k=1,2,3\).
Образец цитирования: Makhammadaliev M. and Khakimov R. Hard-Core Model with Countable States: Translation-Invariant Gibbs Measures // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, № 2. C. 91-107 (in English). DOI 10.46698/b9897-5479-1766-n
1. Preston, C. J. Gibbs States on Countable Sets,
Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 68, Cambridge, Cambridge University Press, 1974.
2. Georgii, H.-O. Gibbs Measures and Phase Transitions, De Gruyter Studies
in Mathematics, vol. 9, Berlin, Walter de Gruyter, 2011.
3. Rozikov, U. A. Gibbs measures on Cayley Trees, Singapore, World Scientific, 2013.
DOI: 10.1142/8841.
4. Sinai, Ya. G. Theory of Phase Transitions: Rigorous Results,
International Series in Natural Philosophy, vol. 108,
Oxford, Pergamon Press, 1982.
5. Martinelli, F. Sinclair, A. and Weitz, D. Fast Mixing for Independent Sets,
Coloring and Other Models on Trees, Random Structures and Algorithms, 2007, vol. 31, no. 2, pp. 134-172.
DOI: 10.1002/rsa.20132.
6. Mukhamedov, F. and Khakimov, O. Absolute Continuity of Non-Homogeneous Gibbs
Measures of the Ising Model on the Cayley Tree, Nonlinearity, 2023, vol. 36, no. 10, pp. 52-65.
DOI: 10.1088/1361-6544/acf1ed.
7. Mukhamedov, F. and El Gheteb, S. Quantum Ising Model with Generalized
Competing \(XY\)-Interactions on a Cayley Tree, Infinite Dimensional Analysis,
Quantum Probability and Related Topics, 2022, vol. 25, no. 3, article no. 2250010.
DOI: 10.1142/S0219025722500102.
8. Bogachev, L. V. and Rozikov, U. A. On the Uniqueness of Gibbs Measure in the Potts
Model on a Cayley Tree with External Field, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment,
2019, vol. 2019, no. 7, article no. 073205. DOI: 10.1088/1742-5468/ab270b.
9. Rahmatullaev, M. M. and Karshiboev, O. Sh. Gibbs Measures for the Three-State SOS Model with External Field on a Cayley Tree, Positivity, 2022, vol. 26, article no. 74.
DOI: 10.1007/s11117-022-00940-y.
10. Rozikov, U. A. and Shoyusupov, Sh. A. Fertile HC Models with Three States on a Cayley Tree,
Theoretical and Mathematical Physics, 2008, vol. 156, no. 3.
pp. 1319-1330. DOI: 10.1007/s11232-008-0109-5.
11. Rozikov, U. A. and Khakimov, R. M. Gibbs Measures for the Fertile Three-State Hard Core Models on a Cayley Tree, Queueing Systems, 2015, vol. 81, no. 1, pp. 49-69. DOI: 10.1007/s11134-015-9450-1.
12. Khakimov, R. M. Translation-Invariant Gibbs Measures for Fertile
Three-State ``Hard Core'' Models on a Cayley Tree, Theoretical and Mathematical Physics,
2015, vol. 183, no. 3, pp. 829-835. DOI: 10.1007/s11232-015-0299-6.
13. Henning, F. and Kulske, C. Coexistence of Localized Gibbs Measures
and Delocalized Gradient Gibbs Measures on Trees, The Annals of Applied Probability,
2021, vol. 31, no. 5, pp. 2284-2310. DOI: 10.1214/20-AAP1647.
14. Henning, F., Kulske, C., Le Ny, A. and Rozikov, U. A. Gradient Gibbs Measures for the Sos-Model with Countable Values on a Cayley Tree, Electronic Journal of Probability, 2019, vol. 24, no. 104, pp. 1-23.
DOI: 10.1214/19-EJP364.
15. Ganikhodjaev, N. N. and Rozikov, U. A. Description of Periodic Extreme Gibbs Measures of Some Lattice Models on a Cayley Tree, Theoretical and Mathematical Physics, 1997, vol. 111, no. 1, pp. 480-486.
DOI: 10.1007/BF02634202.
16. Ganikhodjaev, N. N. and Rozikov, U. A. The Potts Model with Countable Set of Spin Values
on a Cayley Tree, Letters in Mathematical Physics, 2006, vol. 75, pp. 99-109.
DOI:10.1007/s11005-005-0032-8.
17. Khakimov, R. M. and Makhammadaliev, M. T. Translation-Invariant Gibbs Measures for the Hard
Core Model with a Countable Set of Spin Values, Lobachevskii Journal of Mathematics,
2024, vol. 45, no. 8, pp. 3897-3911. DOI: 10.1134/S1995080224604508.
18. Buchholz, S. Phase Transitions for a Class of Gradient Fields,
Probability Theory and Related Fields, 2021, vol. 179, pp. 969-1022.
DOI: 10.1007/s00440-020-01021-5.
19. Zichun, Ye. Models of Gradient Type with Sub-Quadratic Actions,
Journal of Mathematical Physics, 2019, vol. 60, article no. 073304.
DOI: 10.1063/1.5046860.
20. Mazel, A. E. and Suhov, Yu. M. Random Surfaces with Two-Sided Constraints: an Application
of the Theory of Dominant Ground States, Journal of Statistical Physics,
1991, vol. 64, no. 1-2, pp. 111-134. DOI: 10.1007/BF01057870.
21. Kelly, F. P. Stochastic Models of Computer Communication Systems with Discussion,
Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 1985, vol. 47, no. 3, pp. 379-395.
DOI: 10.1111/ j.2517-6161.1985.tb01367.x.
22. Brightwell, G., Ha ggstro m, O. and Winkler, P. Nonmonotonic Behavior in Hard-Core
and Widom-Rowlinson Models, Journal of Statistical Physics, 1999, vol. 94, no. 3-4, pp. 415-435.
DOI: 10.1023/ A:1004592103315.
23. Galvin, D., Martinelli, F., Ramanan, K. and Tetali, P. The Multistate Hard Core model on a Regular Tree,
SIAM Journal on Discrete Mathematics, 2011, vol. 25, no. 2, pp. 894-915.
DOI: 10.1137/ 09075514X.
24. Brightwell, G. and Winkler, P. Graph Homomorphisms and Phase Transitions,
Journal of Combinatorial Theory, Series B, 1999, vol. 77, no. 2, pp. 221-262.
DOI: 10.1006/jctb.1999.1899.
25. Khakimov, R. M., Makhammadaliev, M. T. and Umirzakova, K. O.
Alternative Gibbs Measure for Fertile Three-State Hard-Core Models on a Cayley Tree, Phase Transitions,
2024, vol. 97, no. 9, pp. 536-556. DOI: 10.1080/01411594.2024.2373783.
26. Khakimov, R. M., Makhammadaliev, M. T. and Haydarov, F. H. New Class of Gibbs Measures
for Two-State Hard-Core Model on a Cayley Tree, Infinite Dimensional Analysis,
Quantum Probability and Related Topics, 2023, vol. 26, no. 4, article no. 2350024.
DOI: 10.1142/S0219025723500248.
27. Rozikov, U. A., Khakimov, R. M. and Makhammadaliev, M. T. Gibbs Periodic Measures
for a Two-State HC-Model on a Cayley Tree, Journal of Mathematical Sciences, 2024, vol. 278, no. 4, pp. 647-660
DOI: 10.1007/s10958-024-06946-z.
28. Khakimov, R. M., Makhammadaliev, M. T. and Rozikov, U. A. Gibbs Measures for HC-Model with a Countable Set of Spin Values on a Cayley Tree, Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 2023, vol. 26, article no. 9.
DOI: 10.1007/s11040-023-09453-w.
29. Rozikov, U. A. and Haydarov, F. H. A HC Model with Countable Set of Spin Values:
Uncountable Set of Gibbs Measures, Reviews in Mathematical Physics,
2023, vol. 35, no. 1, article no. 2250039. DOI: 10.1142/S0129055X22500398.
30. Makhammadaliev, M. T. Weakly Periodic Gibbs Measures for the HC
Model with a Countable Set of Spin Values, Reports on Mathematical Physics,
2024, vol. 94, no. 1, pp. 83-103. DOI: 10.1016/S0034-4877(24)00057-0.
31. Zachary, S. Countable State Space Markov Random Fields and Markov Chains on Trees,
The Annals of Probability, 1983, vol. 11, no. 4, pp. 894-903. DOI: 10.1214/aop/1176993439.
Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала.
Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International).
Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
