О доказательствах существования несоставных многогранников с ромбическими вершинами

Субботин В. И.
Владикавказский математический журнал. 2026. Том 28. Выпуск 2.С.118-128.

Аннотация:
Ранее автором рассматривались замкнутые выпуклые многогранники в \(E^3\) с симметричными ромбическими вершинами и правильными гранями (так называемые \(RR\)-многогранники) в двух случаях: 1) правильные грани у таких многогранников одного типа, 2) правильные грани различного типа, но многогранники являются составными. Из ранее опубликованных работ автора следует, что в обоих случаях список \(RR\)-многогранников является полным. первом случае их оказалось двадцать четыре, а во втором - пятьдесят четыре. Вершина \(V\) многогранника называется ромбической, если звезда \(Star(V)\) из граней вершины \(V\) многогранника состоит из \(n\) равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной \(V\). Если вершина \(V\) лежит на оси вращения порядка \(n\) звезды \(Star(V)\), то \(V\) называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина \(V\) называется тупоугольной, если ромбы звезды \(Star(V)\) в вершине \(V\) сходятся своими тупыми углами. Звезда \(Star(V)\) называется при этом симметричной ромбической. Грани \(RR\)-многогранника можно разбить на два непустых непересекающихся множества: множество равных симметричных ромбических звезд, не имеющих общих ребер, и множество правильных граней. Примером \(RR\)-многогранника является удлиненный ромбододекаэдр. Если в \(RR\)-многограннике правильные грани одного типа, то такой \(RR\)-многогранник отнесен к первому типу. Частными случаями \(RR\)-многогранников являются некоторые из правильногранников с условными ребрами, например удлиненный ромбододекаэдр и дважды дополненный кубооктаэдр. При этом ромбические грани правильногранных многогранников с условными ребрами в отличие от ромбов \(RR\)-многогранников, составлены только из правильных треугольников. В настоящей работе даны конструктивные доказательства существования четырех несоставных \(RR\)-многогранников. Для двух из них (25-гранника и 31-гранника) ранее автором были найдены углы ромбов, образующих симметричные гранные звезды вершин. В случае 25-гранника ромбическая вершина имеет остроугольную гранную звезду, т. е. ромбы в ней сходятся своими острыми углами, а в случае 31-гранника гранная звезда тупоугольная. Существование двух других несоставных \(RR\)-многогранников (132-гранника и 54-гранника) доказано на основе правильного додекаэдра и куба.

Ключевые слова: несоставной \(RR\)-многогранник, гранная звезда вершины, симметричная ромбическая вершина.

+ Список литературы

Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала. Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International). Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.