Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/w0408-5668-5674-e
О скорости сходимости эргодических средних для функций из пространства Гордина
Подвигин И. В.
Владикавказский математический журнал. 2024. Том 26. Выпуск 2.С.95-102.
Аннотация: Для автоморфизмов с ненулевой энтропией рассмотрен естественный класс функций, названный пространством Гордина. Это пространство есть линейная оболочка классов Гордина, построенных по некоторой инвариантной относительно автоморфизма фильтрации \(\sigma\)-алгебр \(\mathfrak{F}_n\). Функция из класса Гордина представляет собой ортогональную проекцию относительно оператора \(I-E(f|\mathfrak{F}_n)\) некоторой \(\mathfrak{F}_m\)-измеримой функции. После работы Гордина о применении мартингального метода для доказательства центральной предельной теоремы, эта конструкция получила свое развитие в работах Далибора Волны. В этой обзорной статье мы рассматриваем эту конструкцию в эргодической теории. Показано, что скорость сходимости эргодических средних в \(L_2\) норме для функций из пространства Гордина просто вычисляется и равна \(\mathcal{O}(\frac{1}{\sqrt{n}}).\) Также показано, что пространства Гордина есть плотное множество первой катеогрии по Бэру в \({L_2(\Omega,\mathfrak{F},\mu)\ominus L_2(\Omega,\Pi(T,\mathfrak{F}),\mu)},\) где \(\Pi(T,\mathfrak{F})\) - \(\sigma\)-алгебра Пинскера.
Ключевые слова: скорости сходимости в эргодических теоремах, фильтрация, мартингальный метод
Образец цитирования: Podvigin I. V. On the Rate of Convergence of Ergodic Averages for Functions of Gordin Space // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, № 2. C. 95-102 (in English).
DOI 10.46698/w0408-5668-5674-e
1. Gordin, M. I. The Central Limit Theorem for Stationary Processes,
Doklady Akademii Nauk SSSR, 1969, vol. 188,
no. 4, pp. 739-741 (in Russian).
2. Volny, D. Approximating Martingales and the Central
Limit Theorem for Strictly Stationary Processes,
Stochastic Processes and Their Applications,
1993, vol. 44, no. 1, pp. 41-74.
DOI: 10.1016/0304-4149(93)90037-5.
3. Gordin, M. I. A Note on the Martingale Method of Proving the
Central Limit Theorem for Stationary Sequences,
Journal of Mathematical Sciences,
2006, vol. 133, no. 3, pp. 1277-1281.
DOI: 10.1007/s10958-006-0036-7.
4. Wu, W. B. and Woodroofe, M. Martingale Approximations for Sums of Stationary Processes,
The Annals of Probability, 2004, vol. 32, no. 2, pp. 1674-1690.
DOI: 10.1214/009117904000000351.
5. Cuny, C. and Fan, A. H. Study of Almost Everywhere Convergence
of Series by Mean of Martingale Methods,
Stochastic Processes and their Applications,
2017, vol. 127, no. 8, pp. 2725-2750.
DOI: 10.1016/j.spa.2016.12.006.
6. Lesigne, E. and Volny, D. Large Deviations for Martingales,
Stochastic Processes and Their Applications,
2001, vol. 96, no. 1, pp. 143-159.
DOI: 10.1016/S0304-4149(01)00112-0.
7. Melbourne, I. and Nicol, M. Large Deviations for Nonuniformly Hyperbolic Systems,
Transactions of the American Mathematical Society,
2008, vol. 360, no. 12, pp. 6661-6676.
DOI: 10.1090/S0002-9947-08-04520-0.
8. Melbourne, I. Large and Moderate Deviations for Slowly Mixing Dynamical Systems,
Proceedings of the American Mathematical Society,
2009, vol. 137, no. 5, pp. 1735-1741.
DOI: 10.1090/S0002-9939-08-09751-7.
9. Chazottes, J.-R., Cuny, C., Dedecker, J., Fan, X. and Lemler, S.
Limit Theorems and Inequalities via Martingale Methods,
ESAIM: Proceedings, 2014, vol. 44, pp. 177-196.
DOI: 10.1051/proc/201444012.
10. Browder, F. E. On the Iteration of Transformations in Noncompact Minimal Dynamical Systems,
Proceedings of the American Mathematical Society, 1958, vol. 9, no. 5, pp. 773-780.
DOI: 10.2307/2033085.
11. Badea, C. and Devys, O. Rochberg's Abstract Coboundary Theorem Revisited,
Complex Analysis and Operator Theory, 2022, vol. 16, no. 8, article number 115.
DOI: 10.1007/s11785-022-01293-w.
12. Derriennic, Y. and Lin, M. Fractional Poisson Equations and Ergodic
Theorems for Fractional Coboundaries, Israel Journal of Mathematics,
2001, vol. 123, no. 1, pp. 93-130. DOI: 10.1007/BF02784121.
13. Glasner, E. Ergodic Theory via Joinings,
Mathematical Surveys and Monographs, vol. 101,
American Mathematical Society, 2003, 384 p.
14. Assani, I. Wiener Wintner Ergodic Theorems,
Singapore, Word Scientific, 2003, 216 p.
15. Kachurovskii, A. G. and Podvigin, I. V. Estimates of the Rates of Convergence in the
von Neumann and Birkhoff Ergodic Theorem, Transactions of the Moscow Mathematical Society,
2016, vol. 77, pp. 1-53. DOI: 10.1090/mosc/256.
16. Kachurovskii, A. G., Podvigin, I. V. and Khakimbaev, A. J. Uniform Convergence
on Subspaces in von Neumann Ergodic Theorem with Discrete Time, Mathematical Notes,
2023, vol. 113, no. 5, pp. 680-693. DOI: 10.1134/S0001434623050073.
17. Cuny, C. Pointwise Ergodic Theorems with Rate with Applications
to Limit Theorems for Stationary Processes, Stochastics and Dynamics,
2011, vol. 11, no. 1, pp. 135-155. DOI: 10.1142/ S0219493711003206.
18. Adler, R. L. Invariant and Reducing Subalgebras of
Measure Preserving Transformations, Transactions of the American Mathematical Society,
1964, vol. 110, no. 2, pp. 350-360. DOI: 10.1090/S0002-9947-1964-0156941-9.
19. Sinai, Ya. G. On a Weak Isomorphism of Transformations with Invariant Measure,
Matematicheskii Sbornik. Novaya Seriya, 1964, vol. 63(105), no 1, pp. 23-42 (in Russian).
20. Katznelson, Y. Ergodic Automorphisms of \(T^n\) are Bernoulli Shifts,
Israel Journal of Mathematics, 1971, vol. 10, pp. 186-195.
DOI: 10.1007/BF02771569.
21. Kornfeld I. P., Sinai, Ya. G. and Fomin, S. V. Ergodic Theory,
Berlin-Heidelberg-New York, Springer, 1982, 486 p.
22. Volny, D. Martingale Decompositions of Stationary Processes,
Yokohama Mathematical Journal, 1987, vol. 35, pp. 113-121.
23. Podvigin, I. V. On Possible Estimates of the Rate of Pointwise
Convergence in the Birkhoff Ergodic Theorem,
Siberian Mathematical Journal, 2022, vol. 63, no. 2, pp. 316-325.
DOI: 10.1134/S0037446622020094.
