Аннотация: В данном исследовании рассматривается обратная задача определения ядра свертки в уравнении Мура - Гибсона - Томпсона (МГТ) третьего порядка, которое обычно используется для моделирования движения жидкости с эффектом памяти. В частности, особое внимание обращается на определение неизвестного ядра, которое управляет членом памяти в уравнении. Вначале мы используем спектральный метод Фурье для решения прямой начально-краевой задачи для неоднородного уравнения МГТ с членом памяти. Спектральный метод Фурье позволяет использовать естественную линейность и пространственную однородность задачи, что приводит к эффективному и явному построению решения. Прямая задача анализируется при соответствующих начальных и граничных условиях, которые детально уточняются для обеспечения математической корректности. Для решения обратной задачи вводится дополнительное условие - обычно это форма данных наблюдений, например, в определенных точках, - которое обеспечивает необходимые ограничения для определения ядра. Доказываются локальные теоремы существования и единственности для решения этой задачи.
Ключевые слова: уравнение МГТ, начально-краевая задача, обратная задача, спектральный метод Фурье, принцип Банаха
Образец цитирования: Boltaev A. A., Durdiev D. K., Rahmonov A. A. Kernel Determination Problem in the Third Order 1D Moore-Gibson-Thompson Equation with Memory // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, № 4. C. 55-65 (in English). DOI 10.46698/k7942-9915-9840-k
1. Thompson, P. A. Compressible-Fluid Dynamics, USA, McGraw-Hill, 1972.
2. Green, A. E. and Naghdi, P. M. On Undamped Heat Waves in an Elastic Solid, Journal of Thermal Stresses, 1992, vol. 15, no. 2, pp. 253-264. DOI: 10.1080/01495739208946136.
3. Green, A. E. and Naghdi, P. M. Thermoelasticity without Energy Dissipation, Journal of Elasticity, 1993, vol. 31, pp. 189-208. DOI: 10.1007/BF00044969.
4. Green, A. E. and Naghdi, P. M. A Unified Procedure for Construction of Theories of Deformable Media. I. Classical Continuum Physics, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1995, vol. 448, no. 1934. DOI: 10.1098/rspa.1995.0020.
5. Romanov, V. G. Inverse Problems of Mathematical Physics, Utrecht, The Netherlands, VNU Science Press, 1987.
6. Kabanikhin, S. I. Inverse and Ill-posed Problems: Theory and Applications, Theory and Applications, vol. 55, Berlin, De Gruyter Academic Publishing, 2011.
7. Lesnic, D. Inverse Problems with Applications in Science and Engineering, Leeds University, United Kingdom, Chapman & Hall, 2022.
8. Isakov, V. Inverse Problems for Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 127, New York, Springer, 2006.
9. Hasanov, A. H. and Romanov, V. G. Introduction to Inverse Problems for Differential Equations, Switzerland, Springer International Publishing, 2017.
10. Colombo, F. and Guidetti, D. Identification of the Memory Kernel in the Strongly Damped Wave Equation by a Flux Condition, Communications on Pure and Applied Analysis, 2009, vol. 8, no. 2, pp. 601-620. DOI: 10.3934/cpaa.2009.8.601.
11. Lorenzi, A. and Rossa, E. Identification of Two Memory Kernels in a Fully Hyperbolic Phase-Field System, Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2008, vol. 16, no. 2, pp. 147-174. DOI: 10.1515/JIIP.2008.010.
12. Lorenzi, A. and Messina, F. An Identification Problem with Evolution on the Boundary of Parabolic Type, Advances in Differential Equations, 2008, vol. 13, no. 11-12, pp. 1075-1108. DOI: 10.57262/ade/1355867287.
13. Durdiev, D. K. Global Solvability of an Inverse Problem for an Integro-Differential
Equation of Electrodynamics, Differential Equations, 2008, vol. 44, no. 7, pp. 893-899. DOI: 10.1134/S001226610807001X.
14. Durdiev, D. K. and Totieva, Z. D. The Problem of Determining the one-Dimensional Matrix Kernel of the System of Viscoelasticity Equations, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2018, vol. 41, no. 17, pp. 8019-8032. DOI: 10.1002/mma.5267.
15. Durdiev, D. K. and Totieva, Z. D. Kernel Determination Problems in Hyperbolic Integro-Differential Equations, Infosys Science Foundation Series, Springer, 2023.
16. Durdiev, D. K. and Zhumaev, Zh. Zh. Memory Kernel Reconstruction Problems in the Integro-Differential Equation of Rigid Heat Conductor, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2022, vol. 45, no. 14, pp. 8374-8388. DOI: 10.1002/mma.7133.
17. Colombo, F. An Inverse Problem for a Parabolic Integrodifferential Model in the Theory of Combustion, Physica D: Nonlinear Phenomena, 2007, vol. 236, no. 2, pp. 81-89. DOI: 10.1016/j.physd.2007.07.012.
18. Colombo, F., Guidetti, D. and Lorenzi A. Integro-Differential Identification Problems for Thermal Materials with Memory in Non-Smooth Plane Domains, Dynamic Systems and Applications, 2003, vol. 12, pp. 533-559.
19. Janno, J. and Lorenzi, A. Recovering Memory Kernels in Parabolic Transmission Problems, Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2011, vol. 16, no. 3, pp. 239-265. DOI: 10.1515/JIIP.2008.015.
20. Durdiev, D. K. and Rakhmonov, A. A. Inverse Problem for the System Integro-Differential Equation SH Waves in a Visco-Elastic Porous Medium: Global Solvability, Theoretical and Mathematical Physics, 2018, vol. 195, no. 3, pp. 923-937. DOI: 10.1134/S0040577918060090.
21. Lasiecka, I. and Wang, X. Moore-Gibson-Thompson Equation with Memory, Part I: Exponential Decay of Energy, Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik, 2016, vol. 67, article no. 17. DOI: 10.1007/s00033-015-0597-8.
22.Kaltenbacher, B., Lasiecka, I. and Marchan, R. Wellposedness and Exponential Decay Rates for the Moore-Gibson-Thompson Equation Arising in High Intensity Ultrasound, Control and Cybernetics, 2011, vol. 40, no. 4, pp. 971-988.
23. Liu S., and Triggiani R. An Inverse Problem for a Third Order PDE Arising in High-Intensity Ultrasound: Global Uniqueness and Stability by One Boundary Measurement, Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 2013, vol. 21, no. 6, pp. 825-869. DOI: 10.1515/jip-2012-0096.
24. Boumenir, A. The Reconstruction of an Equation of Visco-Elasticity, Nonautonomous Dynamical Systems, 2018, vol. 5, no. 1, pp. 152-154. DOI: 10.1515/msds-2018-0012.
25. Al-Khulai, W. and Boumenir, A. Reconstructing The Moore-Gibson-Thompson
Equation, Nonautonomous Dynamical Systems, 2020, vol. 7, no. 1, pp. 219-223. DOI: 10.1515/msds-2020-0117.
26. Lorenzi, A. Identification Problems for Integrodifferential Equations, Ill-Posed Problems in Natural Sciences, Ed. A. Tikhonov, Moscow, TVP Sci. Publ., 1992, pp. 342-366. DOI: 10.1515/9783112313930-041.
27. Bukhgeim, A. L. Inverse Problems of Memory Reconstruction, Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 1993, vol. 1, no. 3, pp. 193-205. DOI: 10.1515/jiip.1993.1.3.193.
28. Kolmogorov, A. N. and Fomin, S. V. Elements of Function Theory and Functional Analysis, USA, Dover Publications, 1999.
Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала.
Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International).
Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
