Об индексе бисингулярного оператора с инволютивным сдвигом

Ефимов С. В.
Владикавказский математический журнал. 2024. Том 26. Выпуск 4.С.66-77.

Аннотация:
В теории сингулярных операторов с инволютивным сдвигом полностью изучены вопросы нетеровости (фредгольмовости) и индекса оператора вида \(A+VB\), где \(A\) и \(B\) - сингулярные операторы, а \(V\) - оператор инволютивного сдвига в пространстве \(p\)-суммируемых функций на простом замкнутом контуре типа Ляпунова. Вместе с оператором \(A+VB\) рассматривается соответствующий матричный сингулярный оператор без сдвига \(M=\left(\begin{array}{cc}A&{VBV}\\B&{VAV}\end{array}\right)\). Хорошо известно, что операторы \(A+VB\) и \(M\) н{\"е}теровы или нет одновременно, а их индексы относятся как 1:2. Аналогичные вопросы об одновременной нетеровости и пропорциональности индексов возникают для бисингулярных операторов с инволютивным сдвигом \(A+WB\) и их соответствующих матричных операторов \(M=\left(\begin{array}{cc}A&{WBW}\\B&{WAW}\end{array}\right)\), где \(A\) и \(B\) - бисингулярные операторы, а \(W\) - оператор инволютивного сдвига в пространстве \(p\)-суммируемых функций на прямом произведении простых замкнутых контуров типа Ляпунова. В настоящей работе исследованы бисингулярные операторы с инволютивным сдвигом, распадающимся на одномерные компоненты. Рассмотрены два вида таких сдвигов - покоординатный и перекрестный. В этих случаях соответствующие матричные операторы являются матричными бисингулярными операторами без сдвига. Получена одновременная нетеровость бисингулярного оператора со сдвигом и соответствующего матричного бисингулярного оператора без сдвига. Установлена пропорциональность индексов бисингулярных операторов с покоординатным сдвигом и соответствующих матричных операторов, а именно: доказано, что индексы этих операторов относятся как 1:2. В частном случае такой же результат об индексах получен и для перекрестного сдвига.

Ключевые слова: оператор Нетера, индекс оператора, бисингулярный оператор, инволютивный сдвиг

+ Список литературы

Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала. Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International). Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.