Градиентная модель нестационарной термоупругости для составного стержня
Нестеров С. А.
Владикавказский математический журнал. 2026. Том 28. Выпуск 3.С.91-107.
Аннотация: Моделирование поведения стержневых микроразмерных конструкций имеет большое практическое значение для проектирования термоэлектрических устройств. Ранее проведенные исследования не учитывали совместного влияния теплового и механического масштабных параметров на распределение температуры и смещений составных тел. Это приводило к большим расхождениям расчетов и экспериментальных данных. Мы исследуем задачу уточнения нестационарного термонапряженного состояния составного микростержня. Один торец стержня защемлен и находится при нулевой температуре, а на другом задан нестационарный тепловой поток. Получена обобщенная (градиентная) модель термоупругости для составного микростержня в квазистатической постановке. В определяющие соотношения данной модели вводим тепловой масштабный параметр, а в выражении для теплового потока учитываем градиенты температуры второго порядка. Постановка градиентной модели включает уравнения теплопроводности и равновесия более высокого порядка по сравнению с классической теорией и расширенный список граничных условий. В рамках работы построены численно-аналитическое и асимптотическое решения задачи в случае слабой связанности. Задача сведена к последовательному решению задач градиентной теплопроводности и градиентной теории упругости в трансформантах Лапласа. Обращение трансформант осуществлено на основе модифицированного метода Дурбина. Решение сингулярно возмущенной задачи теплопроводности построено с помощью асимптотического подхода. Выражения для температуры представлены в виде суммы классического решения и погранслойных функций. Обнаружены следующие эффекты, не описанные ранее: 1) с увеличением масштабного параметра значения температуры возрастают на малых временах; 2) происходит более плавное изменение температуры в окрестности точки сопряжения. Точность асимптотических формул проверена путем сравнения с численно-аналитическим решением. Определены границы их применимости. Представленный подход позволит более точно проводить расчеты на прочность составных микроразмерных тел, например, микробалки и микроцилиндра.
Ключевые слова: микроразмерные структуры, градиентная термоупругость, нестационарная задача, составной стержень, масштабный эффект, асимптотика, метод Вишика - Люстерника, моментные напряжения, полные напряжения, полный тепловой поток
Образец цитирования: Нестеров С. А. Градиентная модель нестационарной термоупругости для составного стержня // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, вып. 3. C. 91-107. DOI 10.46698/v0156-6205-6438-l
1. Roncaglia A., Ferri M. Thermoelectric materials in MEMS and NEMS: A review // Sci. Adv. Mater. 2008. Vol. 3, № 3. P. 401–419. DOI: 10.1166/sam.2011.1168.
2. Mbarek S. B., Alcheikh N., Yonis M. I. Recent advances on MEMS based Infrared Thermopile detectors // Microsyst. Technol. 2022. Vol. 28, № 8. P. 1751–1764. DOI: 10.1007/s00542-022-05306-8.
3. Ganwani M. M., Shaikh B., Sinha S. Design and Investigation of MEMS-Based Thermopile Detector Arrays for Infrared Sensing Applications // 2024 IEEE Applied Sensing Conference (APSCON 2024). 2024. P. 193–196. DOI: 10.1109/APSCON60364.2024.1046607.
4. Dhar A. Heat transport in low-dimensional systems // Adv. Phys. 2008. Vol. 57, № 5. P. 457–537. DOI: 10.1080/00018730802538522.
5. Zhang G., Li B. W. Impacts of doping on thermal and thermoelectric properties of nanomaterials // Nanoscale. 2010. Vol. 2, № 7. P. 1058–1068. DOI: 10.1039/C0NR00095G.
6. Stewart D. A., Norris P. M. Size effects on the thermal conductivity of thin metallic wires: micro-scale implications // Microscale Thermophys. Eng. 2000. Vol. 4, № 2. P. 89–101. DOI: 10.1080/108939500404007.
7. Koh S. J. A., Lee H. P. Molecular dynamics simulation of size and strain rate dependent mechanical response of FCC metallic nanowires // Nanotechnology. 2006. Vol. 17, № 14. P. 3451–3467. DOI: 10.1088/0957-4484/17/14/018.
8. Ahmadi G., Firoozbakhsh K. First strain gradient theory of thermoelasticity // Int. J. Solids Struct. 1975. Vol. 11, № 3. P. 339–345. DOI: 10.1016/0020-7683(75)90073-6.
9. Forest S., Amestoy M. Hypertemperature in thermoelastic solids // C. R. Mecanique. 2008. Vol. 336, № 4. P. 347–353. DOI: 10.1016/j.crme.2008.01.007.
10. Forest S., Aifantis E. C. Some links between recent gradient thermo-elasto-plasticity theories and the thermomechanics of generalized continua // Int. J. Solids Struct. 2010. Vol. 47, № 25–26. P. 3367–3376. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2010.07.009.
11. Alnefaie K. A note on gradient thermoelasticity // J. Mech. Behav. Mater. 2014. Vol. 23, № 3–4. P. 107–108. DOI: 10.1515/jmbm-2014-0013.
12. Nika G., Muntean A. Hypertemperature effects in heterogeneous media and thermal flux at small-length scales // Netw. Heterog. Media. 2023. Vol. 18, № 3. P. 1207–1225. DOI: 10.3934/nhm.2023052.
13. Iesan D., Quintanilla R. A second gradient theory of thermoelasticity // J. Elasticity. 2023. Vol. 154. P. 629–643. DOI: 10.1007/s10659-023-10020-1.
14. Bazarra N., Fernandez J. R., Quintanilla R. A. A strain gradient problem with a fourth-order thermal law // J. Comput. Appl. Math. 2024. Vol. 445. Art. 115818. DOI: 10.1016/j.cam.2024.115818.
15. Dong Y., Cao B. Y., Guo Z. Y. Size dependent thermal conductivity of Si nanosystems based on phonon gas dynamics // Physica E Low Dimens. Syst. Nanostruct. 2014. Vol. 56. P. 256–262. DOI: 10.1016/j.physe.2013.10.006.
16. Лурье С. А., Фам Т., Соляев Ю. О. Градиентная модель термоупругости и ее приложения к моделированию тонкослойных композитных структур // Мех. композиц. материалов и конструкций. 2012. Т. 18, № 3. С. 440–449.
17. Lurie S. A., Belov Р. A., Volkov-Bogorodskii D. B. Variational models of coupled gradient thermoelasticity and thermal conductivity // Mater. Phys. Mech. 2019. Vol. 42, № 5. P. 564–581. DOI: 10.18720/MPM.4252019_10.
18. Lurie S. A., Volkov-Bogorodskii D. B., Belov Р. A. Analytical solution of stationary coupled thermoelasticity problem for inhomogeneous structures // Mathematics. 2022. Vol. 10, № 1. Art. 90. DOI: 10.3390/math10010090.
19. Волков-Богородский Д. Б., Лурье С. А. Общие решения связанных задач нестационарной термоупругости и теплообмена в неоднородных средах // Композиты и наноструктуры. 2024. Т. 16, № 2. С. 135–149. DOI: 10.36236/1999-7590-2024-16-2-135-149.
20. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5 (77). С. 3–122.
21. Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Товстик П. Е., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике твердого тела. Москва–Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2007. 360 с.
22. Нестеров С. А. Градиентная модель свободных продольных колебаний упругого стержня // Наука Юга России. 2025. Т. 21, № 1. С. 15–23. DOI: 10.7868/S25000640250103.
23. Vatulyan А. О., Nesterov S. А. On the deformation of a composite rod in the framework of gradient thermoelasticity // Mater. Phys. Mech. 2020. Vol. 46, № 1. P. 27–41. DOI: 10.18149/MPM.4612020_3.
24. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Решение задачи градиентной термоупругости для полосы с покрытием // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 163, № 2. С. 181–196. DOI: 10.26907/2541-7746.2021.2.181-196.
25. Vatulyan A. O., Nesterov S. A., Yavruyan O. V. The Models of gradient mechanics and singularly perturbed boundary value problems // Lobachevskii J. Math. 2023. Vol. 44. P. 3604–3612. DOI: 10.1134/S1995080223080565.
26. Sladek J., Sladek V., Repka M. The heat conduction in nanosized structures // Fiz. Mezomekh. 2021. Vol. 24, № 5. P. 122–129. DOI: 10.24412/1683-805X-2021-5-122-129.
27. Zenkour A. M., Abouelregal A. E., Alnefaie K. A., Zhang X., Aifantis E. C. Nonlocal thermoelasticity theory for thermal-shock nanobeams with temperature-dependent thermal conductivity // J. Therm. Stresses. 2015. Vol. 38, № 9. P. 1049–1067. DOI: 10.1080/01495739.2015.1038490.
28. Sarkar N. Thermoelastic responses of a finite rod due to nonlocal heat conduction // Acta Mech. 2020. Vol. 231. P. 947–955. DOI: 10.1007/s00707-019-02583-9.
29. Yang W. Z., Chen Z. T. Nonlocal dual-phase-lag heat conduction and the associated nonlocal thermal-viscoelastic analysis // Int. J. Heat Mass Transf. 2020. Vol. 156. Art. 119752. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2020.119752.
30. Awrejcewicz J., Krysko V. A., Pavlov S. P., Zhigalov M. V., Kalutsky L. A., Krysko A. V. Thermoelastic vibrations of a Timoshenko microbeam based on the modified couple stress theory // Nonlinear Dyn. 2020. Vol. 99. P. 919–943. DOI: 10.1007/s11071-019-04976-w.
31. Awrejcewicz J., Krysko V. A., Sopenk A. A., Zhigalov M. V., Kirichenko A. V., Krysko A. V. Mathematical modelling of physically/geometrically non-linear micro-shells with account of coupling of temperature and deformation fields // Chaos Solit. Fractals. 2017. Vol. 104. P. 635–654. DOI: 10.1016/j.chaos.2017.09.008.
32. Kirichenko V. F., Awrejcewicz J., Kirichenko A. V., Krysko A. V., Krysko V. A. On the non-classical mathematical models of coupled problems of thermo-elasticity for multi-layer shallow shells with initial imperfections // Int. J. Non-Linear Mech. 2015. Vol. 74. P. 51–72. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2015.03.011.
33. Han W., Hua B., Xiulin R. Perspective: Predicting and optimizing thermal transport properties with machine learning methods // Energy AI. 2022. Vol. 8, № 12. Art. 100153. DOI: 10.1016/j.egyai.2022.100153.
34. Zobeiry N., Humfeld K. D. A physics-informed machine learning approach for solving heat transfer equation in advanced manufacturing and engineering applications // Eng. Appl. Artif. Intell. 2021. Vol. 101. Art. 104232. DOI: 10.1016/j.engappai.2021.104232.
35. Schneider T., Bedrikow A. B., Stahl K. Enhanced prediction of thermomechanical systems using machine learning, PCA, and finite element simulation // Adv. Model. Simul. Eng. Sci. 2024. Vol. 11. Art. 14. DOI: 10.1186/s40323-024-00268-0.
36. Shotaro S. F. Thermodynamics and feature extraction by machine learning // Phys. Rev. Research. 2020. Vol. 2, № 3. DOI: 10.1103/PhysRevResearch.2.033415.
37. Li Z., He Y., Lei J., Guo S., Liu D., Wang L. A standard experimental method for determining the material length scale based on modified couple stress theory // Int. J. Mech. Sci. 2018. Vol. 141. P. 198–205. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2018.03.035.
38. Li Z., He Y., Zhang B., Lei J., Guo S., Liu D. Experimental investigation and theoretical modelling on nonlinear dynamics of cantilevered microbeams // Eur. J. Mech. A Solids. 2019. Vol. 78. Art. 103834. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2019.103834.
39. Feher A., Lukacs N., Somlai L., Fodor T., Szucs M., Fulop T., Van P., Kovacs R. Size effects and beyond-Fourier heat conduction in room-temperature experiments // J. Non-Equilib. Thermodyn. 2021. Vol. 46, № 4. P. 403–411. DOI: 10.1515/jnet-2021-0033.
40. Lam D. C. C., Yang F., Chong A. C. M., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity // J. Mech. Phys. Solids. 2003. Vol. 51, № 8. P. 1477–1508. DOI: 10.1016/S0022-5096(03)00053-X.
41. Liebold C., Muller W. H. Comparison of gradient elasticity models for the bending of micromaterials // Comput. Mater. Sci. 2003. Vol. 116. P. 52–61. DOI: 10.1016/j.commatsci.2015.10.031.
42. Gusev A. A., Lurie S. A. Strain-gradient elasticity for bridging continuum and atomistic estimates of stiffness of binary Lennard-Jones crystals // Adv. Eng. Mater. 2010. Vol. 12, № 6. P. 529–533. DOI: 10.1002/adem.201000004.
43. Zhao X. An efficient approach for the numerical inversion of Laplace transform and its application in dynamic fracture analysis of a piezoelectric laminate // Int. J. Solids Struct. 2004. Vol. 41, № 3. P. 3653–3674. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2004.01.006.
44. Вестяк В. А., Федотенков Г. В. Алгоритм численного обращения преобразования Лапласа в классе обобщенных функций, образующих алгебру со сверткой // Прикл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 1, № 1. С. 67–76. DOI: 10.18262/ammp.2015.0101-05.
Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала.
Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International).
Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
