Восстановление параметров в граничных условиях для неоднородного цилиндрического волновода

Определение различных характеристик твердых тел по данным акустического зондирования в последние годы все чаще привлекает внимание исследователей. В настоящей работе исследуется новая обратная задача об определении двух параметров (коэффициентов постели), входящих в граничные условия для краевой задачи. Краевая задача описывает распространение волн в полом неоднородном цилиндрическом волноводе, расположенном в среде. Ранее проведено решение этой задачи, исследована структура дисперсионного множества и получен ряд формул, устанавливающих взаимосвязь спектральных параметров и коэффициентов постели. Решены вспомогательные задачи Коши, которые автоматически удовлетворяют граничным условиям на внутренней границе цилиндра. Решение граничной задачи отыскивается в виде линейной комбинации вспомогательных задач, удовлетворяются граничные условия на внешней границе. Для существования нетривиального решения требуется равенство нулю определителя возникающей системы алгебраических уравнений. Реконструкция коэффициентов постели осуществляется по информации о двух точках дисперсионного множества, причем способ решения обратной задачи не использует явного представления дисперсионного множества. Решение обратной задачи не всегда удовлетворяет априорной информации о неотрицательности коэффициентов постели.

С целью получения однозначной реконструкции параметров сформулирована теорема единственности. Теорема позволяет на начальном этапе отсеивать такие пары точек дисперсионного множества, для которых нет решения или оно не единственно. Вычислительные эксперименты показали распространенность ситуации, когда через две заданные точки дисперсионного множества могут быть проведены дисперсионные кривые неединственным образом. В рамках работы с малой погрешностью входной информации эффективный способ отбора пары параметров – рассмотрение третьей точки дисперсионного множества. Отмечено, что представленный способ реконструкции позволяет восстанавливать искомые параметры с достаточно высокой точностью.

Образец цитирования: Ватульян А. О., Васильев Л. В., Юров В. О. Восстановление параметров в граничных условиях  для неоднородного цилиндрического волновода  //  Владикавк. мат. журн. 2018. Том 20, вып. 2. С. 29-37. DOI 10.23671/VNC.2018.2.14717

1. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.:
Физматлит, 2006. 384 с.

2. Gladwell G. M. L., Movahhedy M. Reconstruction of mass-spring
system from spectral data I: Theory // Inverse problems in
engineering. 1995. Vol. 1, № 2. P. 179-189.

3. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий и ее
приложения. М.: Физматлит, 2009. 272 с.

4. Ахтямов А. М., Муфтахов А. В., Ахтямова А. А. Об определении
закрепления и нагруженности одного из концов стержня по собственным
частотам его колебаний // Вестн. Удмуртск. ун-та. Математика.
Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 3. С. 114-129.

5. Аитбаева А. А., Ахтямов А. М. Идентификация закрепленности и
нагруженности одного из концов балки Эйлера — Бернулли по
собственным частотам ее колебаний // Сиб. журн. индустр. математики.
2017. Т. 20, № 1. С. 3-10.

6. Ватульян А. О., Васильев Л. В. Об определении параметров упругого
закрепления неоднородной балки // Экологический вестн. науч. центров
ЧЭС. 2015. Вып. 3. С. 14–19.

7. Morassi A., Dilena M. On point mass identification in rods and
beams from minimal frequency measurements // Inverse Probl. Engrg.
2002. Vol. 10, № 3. P. 183–-201.

8. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в
упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 284 с.

9. Шардаков И. Н., Шестаков А. П., Цветков Р. В. Математическое
моделирование волновых процессов в магистральных трубопроводах // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 18-22 февраля 2013 г.). Тез. докл. ИМСС УрО РАН, 2013. С. 252.

10. Ватульян А. О., Юров В. О. О дисперсионных соотношениях для
неоднородного волновода при наличии затухания // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2016, № 5. С. 85-93.

11. Абзалимов Р. Р., Ахтямов А. М. Диагностика и виброзащита
трубопроводных систем и хранилищ. Уфимский гос. нефтяной
технический ун-т, 2006. 118 с.

12. Ватульян А. О., Юров В. О. О свойствах дисперсионного множества для неоднородного цилиндрического волновода // Владикавк. мат. журн. 2018. Т. 20, вып. 1. С. 50-60.

13. Айбиндер А. Б. Расчет магистральных и промысловых трубопроводов на прочность и устойчивость. Справочное пособие. М.: Недра, 1991. 287 с.

14. Калиткин Н. Н. Численные методы. Изд. 2. СПб.: БХВ-Петербург,
2011. 586 с.