Аннотация: ональное в том смысле, что точечные функционалы \(\delta _z: \, f\rightarrow f(z)\) являются непрерывными при каждом \(z\in \mathbb{C}\); 2) пространство \(H\) устойчиво относительно деления, т. е. если \(F\in H\), \(F(z_0)=0\), то \(F(z)(z-z_0)^{-1}\in H\); 3) пространство \(H\) радиальное, т. е. если \(F\in H\) и \(\varphi \in \mathbb R\), то функция \(F(ze^{i\varphi })\) лежит в \(H\), причем \(\|F(ze^{i\varphi })\|= \|F\|\); 4) полиномы полны в \(H\) и \(\|z^n\|\asymp e^{u(n)},\) \(n\in \mathbb N\cup \{0\},\) где последовательность \(u(n)\) удовлетворяет условию \(u(n+1)+u(n-1)-2u(n)\succ n^\delta ,\) \(n\in \mathbb N,\) для некоторого \(\delta >0\). Из условия 1) следует, что каждый функционал \(\delta _z\) порождается элементом \(k_z(\lambda )\in H\) в смысле \(\delta _z(f)=(f(\lambda ),k_z(\lambda )).\) Функция \(k(\lambda, z)=k_z(\lambda )\) называется воспроизводящим ядром пространства \(H\). Базис \(\{ e_k,\ k=1,2,\ldots\}\) в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом, если найдутся числа \(c,C>0\), такие, что для любого элемента \(x=\sum \nolimits _{k=1}^{\infty } x_ke_k\in H\) выполняется соотношение \( c\sum _{k=1}^\infty |c_k|^2\|e_k\|^2\le \left \|x \right \|^2\le C\sum _{k=1}^\infty |c_k|^2\|e_k\|^2. \) В статье излагается метод конструирования безусловных базисов из значений воспроизводящего ядра в таких пространствах. Эта задача восходит к двум тесно связанным между собой классическим задачам: представление функций посредством рядов экспонент и интерполяция целыми функциями.
Ключевые слова: гильбертовы пространства, целые функции, безусловные базисы, воспроизводящие ядра
1. Aronszajn N. Theory of reproducing kernels //
Trans. Amer. Math. Soc. 1950. Vol. 68, № 3.
P. 337-404. DOI: 10.1090/S0002-9947-1950-0051437-7.
2. Hruscev S. V., Nikol'skii N. K., Pavlov B. S.
Unconditional bases of exponentials and of reproductional kernels //
Complex Analysis and Spectral Theory, Lecture Notes in Mathematics. 1981. Vol. 864. P. 214-335. DOI: 10.1007/BFb0097000.
3. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.
4. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы //
Успехи мат. наук. 1981. Т. 36, № 1(217). С. 73-126.
5. Исаев К. П. Представляющие системы экспонент в пространствах аналитических функций //
Комплексный анализ. Целые функции и их применения. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2019. Т. 161. С. 3-64.
6. Исаев К. П., Трунов К. В., Юлмухаметов Р. С. Представляющие системы экспонент в проективных пределах весовых подпространств \(H(D)\) //
Изв. РАН. Сер. матем. 2019. Т. 83, № 2. С. 40-60. DOI: 10.4213/im8728.
7. Russell D. L. On exponential bases for the Sobolev spaces over an interval //
J. Math. Anal. Appl. 1982. Vol. 87, № 2. P. 528-550. DOI: 10.1016/0022-247X(82)90142-1.
8. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент //
Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39, № 3. С. 657-702.
9. Исаев К. П. Базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках //
Уфим. мат. журн. 2010. Т. 2, № 1. С. 71-86.
10. Луценко В. И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах
Смирнова: диcс....к.ф.-м.н. Уфа: Ин-т математики с ВЦ УНЦ РАН, 1992.
11. Исаев К. П., Юлмухаметов Р. С. Об отсутствии безусловных базисов из экспонент
в пространствах Бергмана на областях, не являющихся многоугольниками //
Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71, № 6. С. 69-90. DOI: 10.4213/im694.
12. Башмаков Р. А., Махота А. А., Трунов К. В. Об условиях отсутствия безусловных базисов из экспонент //
Уфим. мат. журн. 2015. Т. 7, № 2. С. 19-34. DOI: 10.13108/2015-7-2-17.
13. Isaev K. P. On unconditional exponential bases in weighted spaces on interval of real axis //
Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. Vol. 38, № 1. P. 48-61. DOI: 10.1134/s1995080217010097.
14. Seip K. Density theorems for sampling and interpolation on the Bargmann-Fock space. I //
J. Reine Angew. Math. 1992. Vol. 429. P. 91-106. DOI: 10.1515/crll.1992.429.91.
15. Seip K., Wallsten R. Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann-Fock space. II //
J. Reine Angew. Math. 1992. Vol. 429. P. 107-113. DOI: 10.1515/crll.1992.429.107.
16. Borichev A., Dhues R., Kellay K.
Sampling and interpolation in the Bergman and Fock spaces //
J. Funct. Anal. 2007. Vol. 242, № 2. P. 563-606. DOI: 10.1016/j.jfa.2006.09.002.
17. Borichev A., Lyubarskii Yu. Riesz bases of reproducing kernels in Fock type spaces //
J. Inst. Math. Jussieu. 2010. Vol. 9, № 3. P. 449-461. DOI: 10.1017/S147474800900019X.
18. Baranov A., Belov Yu., Borichev A. Fock type spaces with Riesz bases of reproducing
kernels and de Branges spaces //
Stud. Math. 2017. Vol. 236, № 2. P. 127-142. DOI: 10.4064/sm8504-9-2016.
19. Исаев К. П., Луценко А. В., Юлмухаметов Р. С. Безусловные базисы в слабовесовых пространствах целых функций //
Алгебра и анализ. 2018. Т. 30, № 2. С. 145-162.
20. Nikolski N. K. Functions, and Systems: an Easy Reading.
Vol. 1. Hardy-Hankel-Toeplitz: Amer. Math. Soc., Providence (R.I.), 2002.
21. Бари Н. К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве //
Математика. Т. 4. Уч. записки Моск. гос. ун-та. 1951. Т. 148. М.: Изд-во Моск. ун-та. С. 69-107.
