Аннотация: В данной работе рассматриваются прямая и обратная задачи для двумерного волнового уравнения. Прямая задача представляет собой начально-краевую задачу для этого уравнения с~нелокальными граничными условиями. В обратной задаче требуется найти переменный во времени коэффициент при младшем члене уравнения. Классическое решение прямой задачи представлено в виде биортогонального ряда по собственным значениям и присоединенным функциям, доказаны единственность и устойчивость этого решения. Для решения обратной задачи получены теоремы существования в локальном, единственности в глобальном и оценка условной устойчивости. Задачи определения правых частей и переменных коэффициентов при младших членах из начально-краевых задач для линейных уравнений в частных производных второго порядка с локальными граничными условиями изучались многими авторами. Поскольку нелинейность является сверхточной, то теоремы об однозначной разрешимости в них доказываются в глобальном смысле. В некоторых работах метод разделения переменных используется для нахождения классического решения прямой задачи в виде биортогонального ряда по собственным функциям и присоединенным функциям. В качестве условия переопределения по отношению к решению прямой задачи используется нелокальное интегральное условие. Прямая задача сводится к эквивалентным интегральным уравнениям метода Фурье. Для установления интегральных неравенств используются обобщенные неравенства типа Гронуолла - Беллмана. Мы получаем априорную оценку решения через неизвестный коэффициент, который нам используется для изучения обратной задачи.
Образец цитирования: Durdiev, D. K. and Suyarov, T. R. Inverse Coefficient Problem for the 2D Wave Equation with Initial and Nonlocal Boundary Conditions // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, № 2. C.5-25 (in English).
DOI 10.46698/u3853-1208-8647-o
1. Romanov, V. G. Inverse Problems of Mathematical Physics,
Utrecht, VNU Science Press, 1987.
2. Hasang'lu A. Hasanov and Romanov, V. G. Introduction to Inverse Problems for Differential Equations,
Springer International Publishing, 2017.
3. Durdiev, D. K. and Totieva, Z. D. Kernel Determination Problems in Hyperbolic Integro Differential Equations,
Infosys Science Foundation Series in Mathematical Sciences, Springer Nature Singapore Pte Ltd, 2023.
4. Kabanikhin, S. I. Inverse and Ill-Posed Problems: Theory and Applications,
Berlin, De Gruyter, 2011.
5. Sabitov, K. B. and Zainullov, A. R. Inverse Problems for a Two-Dimensional Heat Equation with Unknown Right-Hand Side,
Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2021, vol. 65, no. 3, pp. 75-88.
DOI: 10.3103/S1066369X21030087.
6. Sabitov, K. B. and Zainullov, A. R. Inverse Problems for the Heat Equation to Find The Initial Condition and the Right Side, Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki,
2019, vol. 161, no. 2, pp. 274-291 (in Russian).
DOI: 10.26907/2541-7746.2019.2.274-291.
7. Ionkin, N. I. and Morozova, V. A. The Two-Dimensional Heat Equation with Nonlocal Boundary Conditions,
Differential Equations, 2000, vol. 36, no. 7, pp. 982-987.
DOI: 10.1007/BF02754498.
8. Durdiev, D. K. and Safarov, J. Sh. The Problem of Determining the Two-Dimensional Kernel of the
Viscoelasticity Equation with Weakly Horizontal Inhomogeneity,
Sibirskii Zhurnal Industrial'noi Matematiki,
2022, vol. 25, no. 1, pp. 14-38 (in Russian).
DOI: 10.33048/SIBJIM.2022.25.102.
9. Durdiev, D. K. and Rahmonov, A. A.
The Problem of Determining the 2D-Kernel in a System of
Integro-Differential Equations of a Viscoelastic Porous Medium,
Journal of Applied and Industrial Mathematics,
2020, vol. 14, no. 2, pp. 281-295.
DOI: 10.1134/S1990478920020076.
10. Durdiev, D. K. and Safarov, J. Sh. Inverse Problem for an Integrodifferential Equation
of the Hyperbolic Type protect in a Rectangular Domain,
Mathematical Notes, 2023, vol. 114, no. 2, pp. 199-211.
DOI: 10.1134/S0001434623070210.
11. Durdiev, D. K. and Boltaev, A. A. Inverse Problem for Viscoelastic System in a Vertically Layered Medium,
Vladikavkaz Mathematical Journal, 2022, vol. 24, no. 4, pp. 30-47.
DOI: 10.46698/i8323-0212-4407-h.
12. Durdiev, D. K. and Totieva, Z. D. The Problem Of Determining the One-Dimensional Matrix
Kernel of the System of Viscoelasticity Equations,
Mathematical Methods in the Applied Sciences,
2018, vol. 41, no. 17, pp. 8019-8032.
DOI: 10.1002/mma.5267.
13. Janno, J. and Wolfersdorf, L. Inverse Problems for Identifcation of Memory Kernels in Heat Fow,
Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 1996, vol. 4, no. 1, pp. 39-66.
DOI: 10.1515/jiip.1996.4.1.39.
14. Bitsadze, A. V. and Samarsky, A. A. Some Elementary Generalizations of Linear Elliptic Boundary Value Problems,
Doklady Academy Nauk SSSR, 1969, vol. 185, no. 4, pp. 739-740 (in Russian).
15. Ilyin, V. A. On the Unconditional Basis Property on a Closed Interval of Systems of Eigen
and Associated Functions of a Second-Order Differential Operator, II,
Doklady Academy Nauk SSSR, 1983, vol. 273, no 5, pp. 1048-1053 (in Russian).
16. Ilyin, V. A. On the absolute and Uniform Convergence of the Expansions In Eigen- and
Associated Functions of a Nonselfadjoint Elliptic Operator, I,
Doklady Academy Nauk SSSR, 1984, vol. 274, no. 1, pp. 19-22 (in Russian).
17. Filatov, A. N. and Sharova, L. V. Integral'nye neravenstva i teoriya nelineynykh kolebaniy
[Integral Inequalities and the Theory of Nonlinear Oscillations],
Moscow, Nauka, 1976, 152 p. (in Russian).
18. Ionkin, N. I. The Solution of a Certain Boundary Value Problem of the Theory
of Heat Conduction with a Nonclassical Boundary Condition,
Differentsial'nye Uravneniya, 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294-304 (in Russian).
19. Kolmogorov, A. N. and Fomin, S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis,
Dover Books on Mathmetics, 1976.
