Об одном классе решений двухмерного уравнения Лапласа на трехмерном многообразии

Гладков С. О.
Владикавказский математический журнал. 2024. Том 26. Выпуск 2.

Аннотация:
Найдено решение двухмерного уравнения Лапласа на некотором заданном множестве трех независимых переменных в трехмерном евклидовом пространстве. Задача решается с помощью преобразования двухмерного уравнения Лапласа в уравнение, в которой искомая функция зависит от трех независимых переменных, что оказалось возможным осуществить путем введения сферической системы координат. Предлагаемый метод позволил найти решение двухмерного уравнения Лапласа в виде функции от трех независимых переменных. Как пример применения полученного решения, рассмотрена задача об обтекании потоком несжимаемой жидкости трехмерного тела, имеющего форму «утюга». Для этой задачи приведены подробные рассуждения, позволяющие свести трехмерное уравнение Лапласа, описывающее распределение скалярного потенциала скоростей потока вблизи поверхности тела и зависящего от трех независимых координат, к двухмерному уравнению Лапласа, решение которого строго аналитически обосновано в предлагаемой работе. Отмечено также, что аналогичные задачи встречаются не только в гидродинамике, но также в теории упругости и в теории электромагнетизма. Описанный прием, а именно возможность перехода от двух независимых переменных к трем с помощью заданного преобразования, позволяет находить чисто физические решения для широкого спектра задач из разных областей естественных наук.

Ключевые слова: уравнения в частных производных, двухмерное уравнение Лапласа, сферические координаты, обыкновенные дифференциальные уравнения

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы