Аннотация: В этой статье мы изучаем свойство конечной скорости распространения для задачи Коши для взвешенных вырожденных параболических уравнений высшего порядка. Мы доказываем, что если начальные данные компактно носят в некотором фиксированном шаре, то так же обстоит дело и с решением для всего времени. Поскольку мы рассматриваем экспоненциально растущие веса, размер носителя должен расширяться медленнее со временем, чем в случае без веса. Мы доказываем, что в течение больших значении времени носитель решения расширяется с логарифмической скоростью. Эта оценка носителя совпадает с известной оценкой для случая уравнений второго порядка. Основной инструмент доказательства основан на локальных оценках энергии на кольцах, что позволяет нам рассматривать даже нестепенной характер весов. Он работает даже в случаях, когда не выполняется весовое неравенство Гальярдо - Ниренберга. Ранее этот подход использовался Д. Андреуччи и автором в областях с некомпактными границами и для параболических уравнений высшего порядка, включая уравнение тонких пленок.
Ключевые слова: дважды нелинейные весовые параболические уравнения высокого порядка, конечная скорость распространения возмущений, логарифмически расширяющийся носитель
Образец цитирования: Kasaeva A. R., Tedeev A. F. The Support Behavior of the Solution to the Cauchy Problem for Higher Order Weighted Parabolic Equations // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, № 4. C.87-94 (in English). DOI 10.46698/r6706-4339-0235-r
1. Ohya, H. Structure of Solutions for Some Nonlinear Elliptic Problems in Unbounded Domains, Thesis, 2005.
2. Ohya, H. Existence Results for Some Quasilinear Elliptic Equations Involving Critical Sobolev Exponents, Advances in Differential Equations, 2004, vol. 9, no. 11-12, pp. 1339-1368. DOI: 0.57262/ade/1355867905.
3.Bernis, F. Existence Results for Doubly Nonlinear Higher Order Parabolic Equations on Unbounded Domains, Mathematische Annalen,
1988, vol. 279, pp. 373-394. DOI: 10.1007/BF01456275.
4. Andreucci, D. and Tedeev, A. F. The Cauchy Problem for Doubly Degenerate Parabolic
Equations with Weights, 25 p., arXiv: 2410.23075.
5. Antontsev, S. N., Diaz, J. I. and Shmarev, S. I. Energy Methods for Free Boundary Problems: Applications to Non-Linear Pdes and Fluid Mechanics, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, vol. 48, Boston, Birkhauser, 2002.
6. Antoncev, S. N. On the Localization of Solutions of Nonlinear Degenerate Elliptic and Parabolic Equations, Soviet Mathematics. Doklady, 1981, vol. 24, pp. 420-424.
7. Diaz, J. I. and Veron, L. Local Vanishing Properties of Solutions of Elliptic and Parabolic Quasilinear Equations, Transactions of the American Mathematical Society, 1985, vol. 290, no. 2, pp. 787-814.
DOI: 10.1090/S0002-9947-1985-0792828-X.
8. Bernis, F. Finite Speed of Propagation and Asymptotic Rates for Some Nonlinear Higher Order Parabolic Equations with Absorption, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section A: Mathematics, 1986, vol. 104, no. 1-2, pp. 1-19. DOI: 10.1017/S030821050001903X.
9. Bernis, F. Qualitative Properties for Some Nonlinear Higher Order Degenerate Parabolic Equations, Houston Journal of Mathematics, 1988, vol. 14, no. 3, pp. 319-352.
10. Shishkov, A. E. Evolution of the Support of a Solution with Unbounded Energy of Quasi-Linear Degenerate Parabolic Equation of Arbitrary Order, Sbornik: Mathematics, 1995, vol. 186, no. 12, pp. 1843-1864. DOI: 10.1070/sm1995v186n12abeh000096.
11. Shishkov, A. E. Dynamics of the Geometry of the Support of the Generalized Solution of a Higher-Order Quasilinear Parabolic Equation in Divergence Form, Differential Equations, 1993, vol. 29, no. 3, pp. 460-469.
12. Andreucci, D. and Tedeev, A. F. Sharp Estimates and Finite Speed of Propagation for Neumann Problem in Domains Narrowing at Infinity, Advances in Differential Equations, 2000, vol. 5, no. 7-9, pp. 833-860. DOI: 10.57262/ade/1356651289
13. Andreucci, D. and Tedeev, A. F.
A Fujita Type Result for a Degenerate Neumann Problem in Domains with Noncompact Boundary, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1999, vol. 231, no. 2, pp. 543-567. DOI: 10.1006/jmaa.1998.6253.
14. Andreucci, D. and Tedeev, A. F. Finite Speed of Propagation for the Thin-Film Equation and Other Higher-Order Parabolic Equations with General Nonlinearity, Interfaces Free Bound, 2001, vol. 3, no. 3, pp. 233-264. DOI: 10.4171/IFB/40.
15. Andreucci, D. and Tedeev, A. F.
Universal Bounds at the Blow-Up Time for Nonlinear Parabolic Equations, Advances in Differential Equations, 2005, vol. 10, no. 1, pp. 89-120. DOI: 10.57262/ade/1355867897.
16. Ladyzhenskaja, O., Solonnikov, V. A. and Uralceva, N. V. Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type, Translations of Mathematical Monographs, vol. 23, American Mathematical Society, Providence, RI, 1968.
Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала.
Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International).
Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
