Мусин И. Х.
Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 1.С.87-100.
Аннотация: В теории обобщенных функций, теории дифференциальных уравнений значительный интерес представляют пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций. Это связано с тем, что при решении различных задач анализа в таких пространствах можно воспользоваться богатыми возможностями, которые представляет преобразование Фурье или преобразование Лапласа. Одним из таких пространств являются пространства Гельфанда - Шилова типа \(S\). Они возникли в середине 1950-х годов в работах И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова в ходе изучения проблемы единственности решения задач Коши для уравнений в частных производных. В знаменитой серии книг И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова по обобщенным функциям конца 1950-х - начала 1960-х гг. детально описаны свойства функций этих пространств и проведен тщательный анализ Фурье в них. К настоящему времени пространства типа \(S\) нашли многочисленные применения также в теории псевдодифференциальных операторов, частотно-временном анализе. В настоящей работе помощью двух счетных семейств \({\varphi}\) и \(\psi\) раздельно радиальных весовых функций в \({\mathbb R}^n\) введено пространство \({\mathcal S}_{\varphi}^{\psi}\) функций типа \(S\) более общее, чем пространство Гельфанда - Шилова \(S_{\alpha}^{\beta}\). Получено описание пространства \({\mathcal S}_{\varphi}^{\psi}\) в терминах преобразования Фурье функций и рассмотрен вопрос о его нетривиальности. Исследование оператора периодизации на одном из рассматриваемых пространств типа \(S\) оказалось связанным с задачей описания функций пространства периодических ультрадифференцируемых функций типа Румье в терминах убывания их коэффициентов Фурье.
Ключевые слова: пространства Гельфанда - Шилова, преобразование Фурье, ряд Фурье
Образец цитирования: Мусин И. Х. О пространствах Гельфанда - Шилова типа \(S\) // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, вып. 1. С. 87-100. DOI 10.46698/w6732-0632-5795-v
1. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Т. 2: Пространства основных и обобщенных функций. М.: Физматгиз, 1958. 308 с.
2. Соловьев М. А. Пространственно-подобная асимптотика вакуумных средних в нелокальной теории поля // Теорет. и матем. физика. 1982. Т. 52, № 3. С. 363-374.
3. Луценко А. В., Мусин И. Х., Юлмухаметов Р. С. О пространствах Гельфанда - Шилова // Уфимск. матем. журн. 2023. Т. 15, № 3. С. 91-99.
4. Эдвардс Р. Е. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1070 с.
5. Chung J., Chung S-Y, Kim D. Equivalence of the Gelfand-Shilov Spaces // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 203, № 3. P. 828-839. DOI: 10.1006/jmaa.1996.0414.
6. Мацаев В. И., Ронкин Л. И. Квазианалитические классы функций от нескольких переменных // Зап. матем. отд. физ-матем. фак. и Харьковск. матем. общ. 1961. Т. 27, № 4. С. 49-57.
7. Ронкин Л. И. О квазианалитических классах функций нескольких переменных // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146, № 3. С. 546-549.
8. Lelong P. Sur une propriete de quasi-analyticite des fonctions de plusieurs variables // C. R. Acad. Sci. Paris. 1951. Vol. 232. P. 1178-1180.
9. Lelong P. Extension d'un theoreme de Carleman // Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 1962. Vol. 12. P. 627-641.
10. Roumieu C. Ultra-distribution definis sur \({\mathbb R^n}\) et sur certaines classes de varietes differentiables // J. Analyse Math. 1962. Vol. 10. P. 153-192. DOI: 10.1007/BF02790307.
11. Thu Pham-Gia. On a theorem of Lelong // Canad. Math. Bull. 1976. Vol. 19, № 4 P. 505-506. DOI: 10.4153/CMB-1976-077-x.
12. Roumieu C. Sur quelques extensions de la notion de distribution // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. Ser. 3. 1960. Vol. 77, № 1. P. 41-121. DOI: 10.24033/asens.1087.
13. Komatsu H. Ultradistributions, I. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math. 1973. Vol. 20, № 1. P. 25-105.
14. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math. 1990. Vol. 17, № 3-4. P. 206-237. DOI: 10.1007/BF03322459.
15. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М.: Наука, 2007. 222 с.
16. Абанин А. В. \(\Omega\)-ультрараспределения // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72, № 2. С. 3-38. DOI: 10.4213/im1147.
17. Boiti C., Jornet D., Oliaro A. Regularity of partial differential operators in ultradifferentiable spaces and Wigner type transforms // J. Math. Anal. Appl. 2017. Vol. 446, № 1. P. 920-944. DOI: 10.1016/j.jmaa.2016.09.029.
18. Meise R. Sequence Space Representations For Zero-Solutions of Convolution Equations on Ultradifferentiable Functions of Roumieu Type // Stud. Math. 1989. Vol. 92. P. 211-230. DOI: 10.4064/sm-92-3-211-230.
19. Полякова Д. А. Об образе оператора свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций // Алгебра и анализ. 2024. Т. 36, № 2. С. 108-130.
20. Полякова Д. А. Описание ядра оператора свертки в пространствах ультрадифференцируемых функций Румье // Владикавк. матем. журн. 2024. Т. 26, № 3. С. 72-85. DOI: 10.46698/f8294-3012-1428-w.
21. Луценко А. В., Мусин И. Х., Юлмухаметов Р. С. О классе периодических функций в \({\mathbb R^n}\) // Уфимск. матем. журн. 2022. Т. 14, № 4. С. 73-79.
Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала.
Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International).
Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
