О пересечении абелевой и минимальной неабелевой подгрупп в конечных группах

Зенков В. И.
Владикавказский математический журнал. 2025. Том 27. Выпуск 3.С.75-81.

Аннотация:
Пусть \(G\) - конечная группа, \(A\) и \(B\) - подгруппы из \(G\). Через \(M=M_G(A,B)\) (соответственно \(m=m_G(A,B)\)) обозначается множество всех минимальных по включению (соответственно по порядку) пересечений вида \(A\cap B^g\), где \(g\in G\). Положим \(\min_G(A,B)=\langle m\rangle\) и \(\mbox{ Min}_G(A,B)=\langle M\rangle\). В 1994 г. автор доказал, что если \(A\) и \(B\) - абелевы подгруппы из \(G\), то \(\mbox{Min}_G(A,B)\le F(G)\). В данной работе дается другое доказательство этого результата. Кроме того, построена конечная группа \(G\), содержащая абелеву подгруппу \(A\), минимальную неабелеву подгруппу \(B\) и элементы \(g_1\) и \(g_2\) такие, что \(A\cap B^{g_1}\le F(G)\), \(A\cap B^{g_2}\not\le F(G)\), \(|A\cap B^{g_1}|=|A\cap B^{g_2}|\) и \(A\cap B^{g_1}\), \( A\cap B^{g_2}\in\min_G(A,B)\). Приведен пример группы \(G\) такой, что для некоторых \(g_1, g_2\in G\) имеем \(A\cap B^{g_1}\), \(A\cap B^{g_2}\in\mbox{\rm Min}_G(A,B)\), \(A\cap B^{g_1}\le F(G)\) и \(A\cap B^{g_2}\not\le F(G)\). Показано также, что существует группа \(G\) с нильпотентными подгруппами \(A\) и \(B\) такими, что \(m\subset M\) и \(\min_G(A,B) < \mbox{\rm Min}_G(A,B)\).

Ключевые слова: конечная группа, абелева подгруппа, пересечение подгрупп

+ Список литературы