Аннотация: В 2002 г. второй автор данной статьи записал в Коуровской тетради следующую задачу (вопрос 15.67). А) Какие присоединенные группы Шевалле (нормального типа) над кольцом целых чисел порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны? К настоящему времени эта задача решена только для групп Шевалле типа \(A_n\) (случай \(PSL_{n+1}\)), \(E_n\) и \(G_2\). Конечно, задачу А) можно рассматривать и для других однопорожденных колец, и не только для присоединенных групп Шевалле. Так, аналог задачи А) решен для групп \(PSL_{n}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) и \(SL_{n}(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) над кольцом целых гауссовых чисел \(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}\), причем для некоторых малых размерностей \(n\leq 6\) ответ оказался отрицательный. В данной статье доказывается, что группа Шевалле \(G_2(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) над кольцом целых гауссовых чисел порождается тремя инволюциями, две из которых перестановочны. В качестве следствия получается, что для нее минимальное число порождающих инволюций, произведение которых равно 1, совпадает с \(5\).
Образец цитирования: Казакова А. В., Нужин Я. Н. Порождение группы \(G_2(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, вып. 3. С. 82-89. DOI 10.46698/d7840-8893-1360-c
1. Tamburini M. C., Zucca P. Generation of certain matrix groups by three involutions, two of which commute //
J. Algebra. 1997. Vol. 195, № 2. P. 650-661. DOI: 10.1006/jabr.1997.7055.
2. The Kourovka Notebook. No. 20. Unsolved Problems in Group Theory / Eds. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. Novosibirsk:
Sobolev Institute of Mathematics, 2022.
3. Нужин Я. Н. О порождаемости группы \(PSL_n(\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Владикавк. мат. журн. 2008. Т. 10, № 1. С. 68-74.
4. Тимофеенко И. А. Порождаемость групп Шевалле типа \(E_l\) над кольцом целых чисел тремя инволюциями, две из которых перестановочны // Сиб. электрон. мат. изв. 2017. Т. 14. С. 807-820. DOI: 10.17377/semi.2017.14.068.
5. Timofeenko I. A. Generation of the Chevalley group of type \(G_2\) over the ring of integers by three involutions two of which commute // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2015. Vol. 8, № 1. P. 104-108.
6. Levchuk D. V., Nuzhin Ya. N. On Generation of the group \(PSL_n (\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})\) by three involutions, two of which commute // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys. 2008. Vol. 1, № 2. P. 133-139.
7. Левчук Д. В. Порождаемость группы \(PSL_7(\mathbb{Z} + i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две из которых перестановочны //
Вестн. НГУ. Сер. мат., мех., информ. 2009. Т. 9, № 1. C. 35-38.
8. Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп \(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) и
\(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две их которых перестановочны //
Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2022. Т. 40. С. 49-62. DOI: 10.26516/1997-7670.2022.40.49.
9. Всемирнов М. А., Гвоздев Р. И., Нужин Я. Н., Шаипова Т. Б. О порождении групп
\(SL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) и \(PSL_n(\mathbb{Z}+i\mathbb{Z})\) тремя инволюциями, две их которых перестановочны. II // Мат. заметки. 2024. Т. 115, № 3. C. 317-329. DOI: 10.4213/mzm14048.
10. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. 496 с.
11. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле М.: Мир, 1975. 263 с.
12. Carter R. W. Simple Groups of Lie Type. London-New York-Sydney-Toronto:
John Wiley and Sons, 1972. 335 p.
13. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980. 400 c.
14. Нужин Я. Н. О порождающих множествах инволюций простых конечных групп //
Алгебра и логика. 2019. Т. 58, № 3. С. 426-434. DOI: 10.33048/alglog.2019.58.310.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
