Аннотация: Граф Грюнберга - Кегеля \(\Gamma(G)\) (или граф простых чисел) конечной группы \(G\) - это граф, в котором вершинами служат все простые делители порядка группы \(G\), и две различные вершины \(p\) и \(q\)
смежны тогда и только тогда, когда \(G\) содержит элемент порядка \(pq\). Одним из популярных направлений исследований в теории конечных групп является изучение групп c заданными свойствами их графов Грюнберга - Кегеля. В 2012-2013 гг. первый автор описал конечные группы с графом Грюнберга - Кегеля как для группы \({\rm Aut}(J_2)\), так и для группы \(A_{10}\). Графы Грюнберга - Кегеля этих групп изоморфны (как абстрактные графы) графу "балалайка". Граф "балалайка" - это граф на четырех вершинах, степени которых равны \(1\), \(2\), \(2\) и \(3\). Обобщая упомянутые результаты А. С. Кондратьева, мы рассматриваем проблему описания конечных групп, графы Грюнберга - Кегеля которых изоморфны графу "балалайка". В 2018 г. А. С. Кондратьев и Н. А. Минигулов доказали, что если \(G\) - конечная неразрешимая группа играф \(\Gamma(G)\) изоморфен графу "балалайка", то фактор-группа \(G/S(G)\) группы \(G\) по ее разрешимому радикалу \(S(G)\) почти проста. Кроме того, были класcифицированы все конечные почти простые группы, графы Грюнберга - Кегеля которых изоморфны подграфам графа "балалайка". В двух работах 2022 г. А. С. Кондратьев и Н. А. Минигулов описали все конечные разрешимые группы с графом Грюнберга - Кегеля, изоморфным графу "балалайка". Кроме того, были классифицированы конечные неразрешимые группы \(G\), графы Грюнберга - Кегеля которых изоморфны графу "балалайка", в следующих двух случаях: \((1)\) группа \(G\) не содержит элементов порядка 6; \((2)\) группа \(G\) содержит элемент порядка 6 и вершина степени \(1\) графа \(\Gamma(G)\) делит \(|S(G)|\). В этой работе продолжается исследование проблемы и изучается ее важный новый случай, когда в конечной неразрешимой группе \(G\) с графом Грюнберга - Кегеля, изоморфным графу "балалайка", вершина степени \(1\) графа \(\Gamma(G)\) не превосходит \(3\).
Ключевые слова: конечная группа, неразрешимая группа, граф Грюнберга - Кегеля, граф "балалайка"
Образец цитирования: Кондратьев А. С., Минигулов Н. А., Нирова М. С. Конечные неразрешимые группы, графы Грюнберга - Кегеля которых изоморфны графу "балалайка". Случай \(q\leq 3\) // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, вып. 3. С. 90-100. DOI 10.46698/o5301-6902-4904-l
1. Кондратьев А. С. Конечные группы с графом простых чисел, как у группы \({\rm Aut(J_2)}\) //
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 3. С. 131-138.
2. Кондратьев А. С. Конечные группы с графом простых чисел, как у группы \(A_{10}\) //
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 136-143.
3. Kondrat'ev A. S., Minigulov N. A. Finite almost simple groups whose Gruenberg-Kegel graphs as abst\-ract graphs are isomorphic to subgraphs of the Gruenberg-Kegel graph of the alternating group \(A_{10}\) // Siberian Electr. Math. Rep. 2018. Vol. 15. P. 1378-1382. DOI: 10.17377/semi.2018.15.113.
4. Kondrat'ev A. S., Minigulov N. A. Finite solvable groups whose Gruenberg-Kegel graphs are isomorphic to the paw // Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2022. Vol. 28, № 2. P. 269-273. DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-269-273.
5. Kondrat'ev A. S., Minigulov N. A. On finite non-solvable groups whose Gruenberg-Kegel graphs are isomorphic to the paw // Commun. Math. Stat. 2022. Vol. 10, № 4. P. 653-657. DOI: 10.1007/s40304-021-00242-x.
5. Кондратьев А. С., Храмцов И. В. О конечных трипримарных группах //
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3. С. 150-158.
6. Кондратьев А. С., Храмцов И. В. О конечных четырепримарных группах //
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. С. 142-159.
7. Кондратьев А. С., Храмцов И. В. Письмо в редакцию // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 276-277. DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-276-277.
8. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975. 263 с.
9. Bray J. N., Holt D. F., Roney-Dougal C. M. The Maximal Subgroups of the Low-Dimensional Finite Classical
Groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2013. 438 p.
10. Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Parker R. A., Wilson R. A. Atlas of Finite Groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.
11. Gorenstein D. Finite Groups. New York: Harper and Row, 1968. 527 p.
12. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin: Springer-Verlag, 1967. 793 p.
13. Huppert B., Blackburn N. Endliche Gruppen II. Berlin: Springer-Verlag, 1982. 531 p.
14. Jansen C., Lux K., Parker R., Wilson R. An Atlas of Brauer Characters. New York: Clarendon Press, 1995. 327 p.
15. Мазуров В. Д. Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов //
Алгебра и логика. 1997. T. 36, № 1. С. 37-53.
16. Stewart W. B. Groups having strongly self-centralizing 3-centralizers // Proc. London Math. Soc. 1973. Vol. s3-26, № 4. P. 653-680. DOI: 10.1112/plms/s3-26.4.653.
17. Higman G. Odd Characterizations of Finite Simple Groups: Lecture Notes. Michigan: Univ. Michigan, 1968. 77 p.
18. Zavarnitsine A. V. Fixed points of large prime-order elements in the equicharacteristic action of linear and unitary groups // Siberian Electr. Math. Rep. 2011. Vol. 8. P. 333-340.
19. Кондратьев А. С., Осиновская А. А., Супруненко И. Д. О поведении элементов простого порядка из цикла Зингера в представлениях специальной линейной группы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 3. С. 179-186.
20. Dornhoff L. Group Representation Theory, Part A: Ordinary Representation Theory. New York: Marcel Decker, 1971. 254 p.
21. Белоногов В. А. О малых взаимодействиях в конечных группах //
Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 2. С. 3-18.
22. Минигулов Н. А. Конечные почти простые 4-примарные группы со связным графом Грюнберга Кегеля // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 142-146.
DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-142-146.
23. Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, № 2. P. 487-513. DOI: 10.1016/0021-8693(81)90218-0.
24. Burkkhardt R. Der zerlegungsmatrizen der gruppen \(PSL(2, p^f)\) // J. Algebra. 1976. Vol. 40, № 1. P. 75-96. DOI: 10.1016/0021-8693(76)90088-0.
25. Dornhoff L. Group Representation Theory, Part B: Modular Representation Theory. New York: Marcel Decker, 1972. 270 p.
26. Fleischmann P., Lempken W., Tiep P. H. Finite \(p'\)-semiregular groups // J. Algebra. 1997. Vol. 188, № 2. P. 547-579. DOI: 10.1006/jabr.1996.6858.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
