Аннотация: Плоское целоудаленное множество есть конечное множество точек на евклидовой плоскости, не содержащееся ни на какой прямой, такое, что евклидово расстояние между любой парой точек является целым числом. Эти множества характеризуются своей мощностью (конечным числом точек), диаметром (максимальным попарным расстоянием) и характеристикой (наименьшим положительным целым числом \(q\) таким, что площади всех треугольников, образованных точками множества, соизмеримы с \(\sqrt{q}\)). Характеристика инвариантна относительно сдвига, растяжения, отражения, а также добавления или удаления точек. Существующие классификации включают множества в полуобщем положении (никакие три точки не лежат на одной прямой) и в общем положении (никакие три точки не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности). Классическими примерами являются круговые множества и веерные множества (все точки, кроме одной, лежат на одной
прямой). Однако нахождение множеств общего положения представляет значительные трудности. Например, наибольшее известное множество имеет семь точек, и пока не найдено множество из восьми точек общего положения. В данной работе представлены новые примеры для развития классификации, включая рельсовые множества (точки на двух параллельных прямых), множества с несколькими симметриями и стреловидные конфигурации. Мы также рассматриваем множества с большим количеством общих точек, которые нельзя объединить. Эти конструкции подчеркивают потенциал последовательных растяжений и ограничения на объединение множеств, демонстрируя новые особенности структуры и свойств плоских целоудаленных множеств.
Образец цитирования: Avdeev, N. N., Zvolinskiy, A. E. and Momot, E. A. Particular Examples of Planar Integral Point Sets and Their Classification, Vladikavkaz Math. J., 2026, vol. 28, no. 1, pp. 28-36. DOI 10.46698/q7071-3025-8385-h
1. Anning, N. H. and Erdos, P. Integral Distances, Bulletin of
the American Mathematical Society, 1945, vol. 51, no. 8, pp. 598-600. DOI: 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9.
2. Erdos, P. Integral Distances, Bulletin of the American Mathematical
Society, 1945, vol. 51, no. 12, p. 996. DOI: 10.1090/S0002-9904-1945-08490-0.
3. Kemnitz, A. Punktmengen mit ganzzahligen Abstanden [Point Sets with Integral Distances],
Habilitationsschrift, Braunschweig, 1988 (in German).
4. Kurz, S. On the Characteristic of Integral Point Sets in \(\mathbb {E^m}\), Australasian Journal of Combinatorics, 2006, vol. 36, pp. 241-248. DOI: 10.48550/arXiv.math/0511704.
5. Kurz, S. and Wassermann, A. On the Minimum Diameter of Plane Integral Point Sets, Ars Combinatoria,
2011, vol. 101, pp. 265–287. DOI: 10.48550/arXiv.0804.1307.
6. Solymosi, J. Note on Integral Distances, Discrete & Computational
Geometry, 2003, vol. 30, no. 2, pp. 337-342, DOI: 10.1007/s00454-003-0014-7.
7. Avdeev, N. and Lushina, E. On the Characteristic and Diameter
of Planar Integral Point Sets, Australasian Journal of Combinatorics, 2025, vol. 93, no. 3, pp. 461-477. DOI:
10.48550/arXiv.2407.08121.
8. Kreisel, T. and Kurz, S. There Are Integral Heptagons, no Three Points on a Line,
no Four on a Circle, Discrete & Computational Geometry, 2008,
vol. 39, no. 4, pp. 786-790, DOI: 10.1007/s00454-007-9038-6.
9. Avdeev, N. N. On Integral Point Sets in Special Position,
Nekotorye voprosy analiza, algebry, geometrii i matematicheskogo obrazovaniya:
materialy mezhdunarodnoy molodezhnoy nauchnoy shkoly "Aktual'nye napravleniya matematicheskogo analiza i smezhnye voprosy", 2018, vol. 8, pp. 5-6 (in Russian).
10. Avdeev, N. N. On the Search of Special Integral Point Sets, Aktual'nye problemy prikladnoj matematiki, informatiki i mekhaniki, sbornik trudov Mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii, 2018, pp. 492-498 (in Russian).
11. Avdeev, N. N. and Semenov, E. M. Integral Point Sets in the Plane and Euclidean Space, Mathematical Forum, vol. 12, Studies in Mathematics and Mathematical Education, Trends in Science: The South of Russia, Vladikavkaz, SMI VSC RAS, 2018, pp. 217-236.
12. Avdeev, N. N., Zvolinsky, R. E. and Momot, E. A. On Particular Diameter Bounds for Integral Point Sets in Higher
Dimensions, Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics,
2025, vol. 1, pp. 62-77. DOI: 10.48550/arXiv.1909.10386.
13. Kurz, S. et al. Constructing 7-Clusters, Serdica Journal of Computing, 2014, vol. 8,
no. 1, pp. 47-70. DOI: 10.48550/arXiv.1312.2318.
14. Zvolinsky, R. E. Facher Integral Point Sets with Particular Distances of Arbitrary Cardinality,
Aktual'nye problemy prikladnoj matematiki, informatiki i mekhaniki, Sbornik trudov Mezhdunarodnoj nauchnoj konferentsii, 2021, pp. 668-674.
15. Antonov, A. R. and Kurz, S. Maximal Integral Point Sets over
\(\mathbb {Z^2}\), International Journal of Computer Mathematics, 2010, vol. 87,
no. 12, pp. 2653-2676. DOI: 10.1080/00207160902993636.
16. Solymosi, J. and de Zeeuw, F. On a Question of Erdos and Ulam,
Discrete & Computational Geometry, 2010, vol. 43, no. 2, pp. 393-401. DOI: 10.1007/s00454-009-9179-x.
17. Avdeev, N. N. and Semenov, E. M. On the Sets of Points on the Plane with Integer-Valued Distances, Mathematical Notes, 2016, vol. 100, pp. 743-746. DOI: 10.1134/S0001434616110110.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
